Electronic
29.07.2009, 19:40
..., или расчёты,
могущие послужить фундаментом
для объективной теории магии.
Мера магии.
Как известно, задача магии -- увеличивать вероятность событий (понижение вероятности можно рассматривать как повышение вероятности обратного события). В связи с этим появляются несколько идей измерения магии:
уменьшение энтропии события: (-log2 P1)-(-log2 P2)
увеличение энтропии обратного события: (-log2 (1-P2))-(-log2 (1-P1))
Первое не подходит, поскольку предназначено для одиночных экспериментов и даёт теоретически верные, но интуитивно неоправданные результаты. Второе даёт сбой при P2=1.
Тут и возникла идея измерить НЕслучайность результата, его независимость от везения. Для этого используем формулы, связанные с системой гипотез ( в частности - формула Байеса).
Итак, пусть есть две гипотезы:
X1 - "магия НЕ сработала"
X2 - "магия сработала"
A - искомое событие.
Положим априорные P(X1)=P(X2)=1/2.
Кроме того, P(A|XI)=PI.
Как известно, P(XI|A)=(P(XI)P(A))/(Sigma J P(XJ)P(A|XJ))=
=PI/(P1+P2).
Соответственно, P(XI|^A)=(1-PI)/(2-P1-P2).
Далее, пусть экспериментальная P(A)=PE.
Тогда апостериорная P(XI)=PE(XI|A)+(1-PE)(XI|^A)=
=(2PIPE+(1-PE-PI)(P1+P2))/(2(P1+P2)-(P1+P2)^2).
Теперь найдём вероятность того, что магия не сработала, хотя эксперимент указывал на обратное (PE=P2). Назовём её вероятностью везения:
Pв=<выкладки опущены>=
=(P1+P2-P1^2-P2^2)/(2(P1+P2)-(P1+P2)^2);
Так как Pв симметрично относительно P1, P2, то вероятность невезения выражается той же формулой.
В качестве меры магии можно теперь предложить энтропию вероятности везения -- помноженной на 2, так как max Pв=1/2.
Кстати, arg max Pв= (P1=P2).
Таким образом, мера магии=M=-log2 2Pв(P1, P2)
(с другим знаком и порядком аргументов, если P2<P1, так как если вероятность против ожидания уменьшилась, то магию следует считать отрицательной).
Замечание:
Формула безусловно верна, но не учитывает, что некоторые вероятности экспериментальны. Здравый смысл здесь подсказывает, что Pв(0, x)=0 и Pв(1, x)=0. Думаю, ясно, почему.
PS В рамках проекта "Статьи для форума". Прощения прошу за формулы, здесь нет даже верхних и нижних индексов. Исследование оригинальное и чисто умозрительное (пока). Надеюсь распространить на случай произвольных априорных вероятностей.
PPS Магией, в общем-то, здесь можно назвать любое конструктивное действие.
могущие послужить фундаментом
для объективной теории магии.
Мера магии.
Как известно, задача магии -- увеличивать вероятность событий (понижение вероятности можно рассматривать как повышение вероятности обратного события). В связи с этим появляются несколько идей измерения магии:
уменьшение энтропии события: (-log2 P1)-(-log2 P2)
увеличение энтропии обратного события: (-log2 (1-P2))-(-log2 (1-P1))
Первое не подходит, поскольку предназначено для одиночных экспериментов и даёт теоретически верные, но интуитивно неоправданные результаты. Второе даёт сбой при P2=1.
Тут и возникла идея измерить НЕслучайность результата, его независимость от везения. Для этого используем формулы, связанные с системой гипотез ( в частности - формула Байеса).
Итак, пусть есть две гипотезы:
X1 - "магия НЕ сработала"
X2 - "магия сработала"
A - искомое событие.
Положим априорные P(X1)=P(X2)=1/2.
Кроме того, P(A|XI)=PI.
Как известно, P(XI|A)=(P(XI)P(A))/(Sigma J P(XJ)P(A|XJ))=
=PI/(P1+P2).
Соответственно, P(XI|^A)=(1-PI)/(2-P1-P2).
Далее, пусть экспериментальная P(A)=PE.
Тогда апостериорная P(XI)=PE(XI|A)+(1-PE)(XI|^A)=
=(2PIPE+(1-PE-PI)(P1+P2))/(2(P1+P2)-(P1+P2)^2).
Теперь найдём вероятность того, что магия не сработала, хотя эксперимент указывал на обратное (PE=P2). Назовём её вероятностью везения:
Pв=<выкладки опущены>=
=(P1+P2-P1^2-P2^2)/(2(P1+P2)-(P1+P2)^2);
Так как Pв симметрично относительно P1, P2, то вероятность невезения выражается той же формулой.
В качестве меры магии можно теперь предложить энтропию вероятности везения -- помноженной на 2, так как max Pв=1/2.
Кстати, arg max Pв= (P1=P2).
Таким образом, мера магии=M=-log2 2Pв(P1, P2)
(с другим знаком и порядком аргументов, если P2<P1, так как если вероятность против ожидания уменьшилась, то магию следует считать отрицательной).
Замечание:
Формула безусловно верна, но не учитывает, что некоторые вероятности экспериментальны. Здравый смысл здесь подсказывает, что Pв(0, x)=0 и Pв(1, x)=0. Думаю, ясно, почему.
PS В рамках проекта "Статьи для форума". Прощения прошу за формулы, здесь нет даже верхних и нижних индексов. Исследование оригинальное и чисто умозрительное (пока). Надеюсь распространить на случай произвольных априорных вероятностей.
PPS Магией, в общем-то, здесь можно назвать любое конструктивное действие.